Proposición 30

Enunciado

Sea $X$ un conjunto simplemente ordenado que satisface la propiedad del supremo. Entonces, todo intervalo cerrado $[a, b]$ es compacto con la topología del orden.^[1]

Demostración

Dados $a < b$ , sea $A = {A_{i}}_{i \in I}$ un cubrimiento por abiertos de $[a, b]$ . Queremos demostrar que existe un subcubrimiento finito de $A$ que cubre a $[a, b]$ . Para ello, definimos el conjunto

C = {y \in [a, b] : [a, y] se puede cubrir por un número finito de abiertos de A}

A partir de aquí, se distinguen varios pasos:

$C \neq \emptyset$ pues $a \in C$ , ya que $a \in A_{i_{0}} \in A$ ; por tanto, $[a, a] = {a} \subset A_{i_{0}}$ .
Por la propiedad del supremo, como $C$ está acotado por $b$ , entonces tiene un supremo $c$ que también está acotado por $b$ . Véase: $a \leq c \leq b$ .
Comprobamos que $c \in C$ , esto es, que el intervalo $[a, c]$ puede ser cubierto por un número finito de abiertos de $A$ . Tomamos un $A_{0} \in A$ de manera que $c \in A_{0}$ ^[2]; entonces, como $A_{0}$ es abierto, va a existir un $d \in [a, b]$ tal que $(d, c] \subset A_{0}$ ^[3]. Por reducción al absurdo, suponemos que $c \notin C$ . Como consecuencia, debe existir un punto $z \in (d, c) \cap C$ pues si no, $d$ sería una cota superior de $C$ menor que $c$ , lo que supone una contradicción pues $c$ es el supremo.

Así, como $z \in C$ , el intervalo $[a, z]$ puede ser cubierto por un número finito de abiertos de $A$ : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ . Por otro lado, $[z, c] \subset (d, c] \subset A_{0}$ ; por tanto, $$
[a, c]=[a, z]\cup[z, c]\subset(A_{1}\cup A_{2}\cup\dots\cup A_{n})\cup A_
$D e e s t a m a n e r a, $ c \in C $ .$
[a, y]=[a, c]\cup[c, y]\subset(A_{1}\cup\dots\cup A_{n}\cup A_{0})\cup A_{0}'
$$Lo que significa que $y \in C$ , siendo $y > c$ , pero esto es una contradicción pues $c$ es el supremo ^[4]. Por tanto, $c = b \in C$ y $[a, b]$ se cubre por un número finito de abiertos de $A$ , por lo que es compacto. $◼$

Como ocurre en $R$ . Que haya supremo significa que está acotado. ↩︎
Sabemos que habrá pues, por hipótesis, la familia $A$ cubre por abiertos al intervalo $[a, b]$ , y se tiene que $c \in [a, b]$ . ↩︎
Es un abierto básico de la topología del orden. ↩︎
En caso de no haber ningún elemento en $(c, e)$ , quiere decir que no hay ningún punto mayor que $c$ en el conjunto $[a, b]$ , por lo que se deduce que $c = b$ . ↩︎